삼차함수의 미분가능성 및 극값을 이용한 함수 추론 문제

문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 0$ (나) 함수 $|f(x)|$는 $x=a$에서만 미분가능하지 않다. (단, $a \neq 0$) (다) 함수 $|f(x)f'(x)|$는 $x=0$에서 미분가능하다. (라) 함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극대이며, 극솟값은 $-4$이다.

$f'(1)$의 값은?