미분가능성과 함수의 최솟값

문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) $f'(0)=0$이고 $f'(2)=0$이다. (나) 함수 $g(x)$를 $g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge 2) \\\\ -f(x)+2f(2) & (x < 2) \end{cases}$라 할 때, 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

닫힌 구간 $[-1, 3]$에서 함수 $g(x)$의 최솟값이 $0$일 때, $f(3)$의 값은?