미분가능성 조건을 이용한 함수값의 합 구하기

문제

함수 $f(x)$가 상수 $a, b, c$ 에 대하여 $f(x) = \begin{cases} ax^2+b & (x < 0) \\\\ x^3-3x^2+c & (x \ge 0) \end{cases}$ 으로 정의된다. $f(x)$가 모든 실수 $x$ 에 대하여 미분가능하도록 할 때, 함수 $g(x)=|f(x)(x-k)|$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 미분가능하도록 하는 모든 상수 $k$ 의 값의 합을 구하시오.