집합과 명제를 활용한 조건 문제

문제

전체집합 $\mathcal{U} = \{x \mid x \text{는 } 10 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여 세 조건 $p(x)$, $q(x)$, $r(x)$ 가 다음과 같다.

$p(x): x \text{는 } 3 \text{ 의 배수이다.}$ $q(x): x \text{는 소수이다.}$ $r(x): x^2 - (k+1)x + k \le 0 \text{ (단, } k \text{는 자연수)}$

명제 $p(x) \ o q(x)$ 가 거짓이 되도록 하는 모든 $x$ 에 대하여 명제 $r(x)$ 가 항상 참이 되도록 하는 자연수 $k$ 의 최솟값은?