킬러 문제: 집합의 조건과 명제의 진리값

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x \text{는 } 30 \text{ 이하의 자연수}\\}$에 대하여 다음 세 집합 $A, B, C$를 정의한다.

$A = \\{x \\mid x \text{는 } 3 \text{의 배수}\\}$

$B = \\{x \\mid x \text{는 } k \text{보다 작은 짝수}\\}$ ($k$는 $2$보다 큰 자연수)

$C = \\{x \\mid x \text{는 } 5 \text{의 배수}\\}$

이때, 다음 세 조건을 모두 만족시키는 자연수 $k$의 값을 구하시오.

조건 1: 집합 $B \\setminus (A \\cup C)$의 원소의 개수는 $3$개이다.

조건 2: 명제 "어떤 $x \\in A$에 대하여 $x \\in B \\land x \\in C$"는 거짓이다.

조건 3: 명제 "$A \\cup C$는 $U$의 부분집합이다"의 진리집합의 원소의 개수는 $14$개이다.