킬러 문항: 집합과 명제의 추론

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x\text{는 } 20\text{ 이하의 자연수}\\}$ 에 대하여 세 부분집합 $A, B, C$가 다음과 같이 정의된다.

$A = \\{x \\in U \\mid x\text{는 소수}\\}$ $B = \\{x \\in U \\mid x\text{는 } 4\text{의 배수}\\}$ $C = \\{x \\in U \\mid x\text{는 } 3\text{의 배수}\\}$

$U$의 공집합이 아닌 부분집합 $X$에 대하여 세 명제 $p, q, r$이 다음과 같다.

$p$: "집합 $X \\cap A$ 의 모든 원소는 $B$의 원소이다." ($X \\cap A \\subseteq B$) $q$: "집합 $X \\cap B$ 의 모든 원소는 $A$의 원소이다." ($X \\cap B \\subseteq A$) $r$: "집합 $X \\cap C$ 는 공집합이 아니다." ($X \\cap C \ eq \\emptyset$)

다음 조건들을 만족시키는 집합 $X$의 모든 원소의 합을 구하시오.

(가) 명제 $(p \\land q) \ o r$ 는 거짓이다. (나) 명제 $p \\leftrightarrow (\\sim q)$ 는 거짓이다. (다) 명제 $(\\sim r) \\lor p$ 는 참이다. (라) $|X| = 2$ (마) 집합 $X$의 모든 원소의 합은 짝수이다.