집합과 명제 심화 추론 문제

문제

전체집합 $U$는 실수 전체의 집합 $\mathbb{R}$이다. 두 집합 $A, B$와 집합 $C$는 다음과 같이 정의된다.

$A = \{x \mid x^2 - (k+3)x + 3k < 0 \}$ (단, $k$는 정수) $B = \{x \mid |x-5| \le a \}$ (단, $a$는 자연수) $C = {x \mid x \text{는 정수이고 } 0 \le x \le 10 }

이 세 집합 $A, B, C$에 대하여 다음 세 가지 조건이 모두 참일 때, $k+a$의 값을 구하시오.

(가) 명제 "모든 실수 $x$에 대하여, $x \in A \implies x \in B$"는 참이다. (나) $|A \cap C| = 3$ (다) $|B \cap C| = 7$