집합과 명제 고난도 문제: 미지수 K 찾기

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 100 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여 세 집합 $A, B, C$ 를 다음과 같이 정의한다.

$A = \{x \mid x \in U, x \text{는 } 3 \text{의 배수}\}$ $B = \{x \mid x \in U, x \text{는 } 4 \text{의 배수}\}$ $C = \{x \mid x \in U, x \text{는 } k \text{의 배수}\}$

여기서 $k$는 $2 \le k \le 10$ 인 자연수이다. 다음 두 조건을 모두 만족하는 $k$의 값을 구하시오.

(가) $|A \cup B \cup C| = 60$

(나) 다음 세 명제가 모두 참이다. (나-1) 명제 '모든 $x \in U$ 에 대하여 $x \in A \implies x \in C$' 는 거짓이다. (나-2) 명제 '어떤 $x \in U$ 에 대하여 $x \in B \text{ 이고 } x \notin (A \cup C)$' 는 참이다. (나-3) 명제 '모든 $x \in U$ 에 대하여 $x \in C \implies x \in (A \cup B)$' 는 거짓이다.