집합과 명제 - 숨겨진 진리집합

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 100 \text{ 이하의 자연수}\}$ 의 두 부분집합 $A, B$ 에 대하여 다음 조건들을 만족시킨다.

(가) $|A \setminus B| = 1$ 이다. 이때, $A \setminus B$ 의 유일한 원소를 $x_0$ 이라 하자. (나) $|A \cap B| = 20$ 이다. (다) $|A \cup B| = 90$ 이다. (라) $x_0$ 은 $2$의 배수도 $5$의 배수도 아니다. (마) 명제 "$A \cap R_k^c \subseteq B$" 가 거짓이 되도록 하는 $U$ 의 원소 $x$ 가 오직 1개 존재한다. (단, $R_k$ 는 자연수 $k$ 의 배수 전체의 진리집합이다.) (바) 명제 "$Q(x) \Rightarrow R_k(x)$" 의 역은 참이고, 대우는 거짓이다. (단, $Q(x)$ 는 "$x \in B$" 이다.)

위의 모든 조건을 만족시키는 자연수 $k$ 의 최솟값을 구하시오.