수능 수학 킬러 문항: 집합과 명제 심화

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 100 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족하는 자연수 $k$ 값을 구하고, 이를 이용하여 구한 집합 $S_k$ 의 원소의 개수를 구하시오.

세 집합 $A_k, B, C$ 를 다음과 같이 정의한다. $A_k = \{x \in U \mid x \text{는 } k \text{의 배수}\}$ $B = \{x \in U \mid x \text{는 홀수}\}$ $C = \{x \in U \mid x \text{는 } 3 \text{의 배수가 아니다}\}$

조건 (가) 명제 "$A_k \subseteq C$" 는 명제 "$A_k \cap B \neq \emptyset$" 의 충분조건이 아니다.

조건 (나) 집합 $A_k \cup (B \cap C)$ 의 원소의 개수는 $45$이다.

조건 (다) 집합 $S_k = \{ (x, y) \mid x \in A_k, y \in B, x < y \}$ 의 원소의 개수를 $M$ 이라 할 때, $M$ 의 값은?