집합과 명제 통합형 고난도 문제

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 103 \text{ 이하의 자연수}\}$에 대하여 세 조건 $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$를 다음과 같이 정의한다.

$P(x): x \text{는 } k \text{의 배수이다. (단, } k \text{는 자연수)}$

$Q(x): x \text{는 } 3 \text{으로 나눈 나머지가 } 1 \text{이다.}$

$R(x): |x-a| \le 5 \text{ 이다. (단, } a \text{는 자연수)}$

세 조건 $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$의 진리집합을 각각 $A_k, B, C_a$라 할 때, 다음 네 가지 조건을 모두 만족시키는 모든 자연수 $k$ 값의 합은?

(가) 명제 '$P(x) \land Q(x)$'는 참인 $x$가 존재한다.

(나) 명제 '$R(x) \to Q(x)$'는 거짓인 $x$가 존재하지 않는다.

(다) 집합 $(A_k \cap C_a)$의 원소의 개수는 1개이다.

(라) 집합 $(B \cup C_a)$의 원소의 개수는 35개이다.