세 집합과 명제 조건 추론 문제

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x \text{는 } 120 \text{ 이하의 자연수}\\}$ 에 대하여 세 집합 $A, B, C$ 를 다음과 같이 정의한다.

$A = \\{x \\mid x \\in U \text{이고 } x \text{는 } 2 \text{의 배수}\\}$ $B = \\{x \\mid x \\in U \text{이고 } x \text{는 } 3 \text{의 배수}\\}$ $C = \\{x \\mid x \\in U \text{이고 } x \text{는 } k \text{의 배수}\\}$

(단, $k$는 $2 \\le k \\le 120$ 인 자연수이다.)

다음 두 조건을 모두 만족시키는 자연수 $k$의 값을 구하시오.

(가) $|A \\setminus (B \\cup C)| = 20$

(나) 명제 "모든 $x \\in U$ 에 대하여 $x \\in C$ 이면 $x \\in A \\cup B$ 이다."는 참이다.

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