집합과 명제 통합 고난도 문제

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 50 \text{ 이하의 자연수}\}$의 세 부분집합 $A, B, C$ 에 대하여 다음 두 명제가 주어져 있다.

명제 $P$: "모든 $x \in A$ 에 대하여 $x \notin B \setminus C$ 이다." 명제 $Q$: "어떤 $x \in U$ 에 대하여 $x \in (A \Delta B) \cap C$ 이다."

$k$는 자연수일 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 모든 $k$ 값의 합을 구하시오.

(가) 명제 $P$ 는 참이고, 명제 $Q$ 는 거짓이다. (나) $A \cap B = \{x \mid x \text{는 } k \text{의 배수} \}$ 이다. (다) $B \setminus C = \{x \mid x \text{는 } 4 \text{의 배수} \}$ 이다. (라) $|A \cup B| = 15$ 이고, $A \subseteq \{x \mid x \text{는 } 3 \text{의 배수} \}$ 이다.