집합의 조건과 명제의 진리값을 활용한 최댓값 문제

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x \text{는 } 1 \\le x \\le 100 \text{인 자연수}\\}$에 대하여 두 부분집합 $A, B$를 다음과 같이 정의한다. $A = \\{x \\mid x \text{는 } 3\text{의 배수}, x \\in U\\}$ $B = \\{x \\mid x \text{는 } m\text{의 배수}, x \\in U\\}$

어떤 자연수 $m$에 대하여 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 $U$의 부분집합 $X$가 존재한다.

(가) $|A \\cup B| = 40$ (나) 명제 '임의의 $x \\in A \\cap B$에 대하여 $x \\in X$이다.'는 거짓이다. (다) 명제 '임의의 $x \\in A \\setminus B$에 대하여 $x \ otin X$이다.'는 참이다.

이때, $|X|=3$일 때, 집합 $X$의 모든 원소의 합의 최댓값을 구하시오.