집합, 명제, 그리고 이차방정식의 통합 추론

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x\text{는 } 20\text{ 이하의 자연수}\\}$ 에 대하여, 세 부분집합 $A, B, C$는 다음 조건을 만족한다.

(가) $A, B, C$는 모두 공집합이 아니며, 서로소이다. (즉, $A \\cap B = \\emptyset, B \\cap C = \\emptyset, C \\cap A = \\emptyset$) (나) $A \\cup B \\cup C = U$ (다) $|A| = |B|$ (라) 명제 "어떤 $x \\in A$에 대하여 $x$는 $3$의 배수가 아니다."는 참이다. (마) 명제 "모든 $x \\in B$에 대하여 $x$는 $4$의 배수이다."는 거짓이다. (바) 집합 $C$의 모든 원소 $x$에 대하여, $x$를 한 근으로 하는 이차방정식 $t^2 - k t + 12 = 0$ 을 만족시키는 자연수 $k$가 존재한다.

이때, $|A|$의 최댓값을 구하시오.