킬러 문제: 집합과 명제의 복합적 추론

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 8 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 $n$과 정수 $k$에 대하여 $n+k$의 값을 구하시오.

세 조건 $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$는 다음과 같다.

• $P(x)$: "$x$는 $n$의 양의 약수이다."
• $Q(x, k)$: "$k \le x \le k+1$ 이다."
• $R(x)$: "$x$는 $3$의 배수이다."

이때, 다음 세 명제 (가), (나), (다)가 모두 참이다.

(가) 명제 "어떤 $x \in U$에 대하여 $Q(x,k)$ 이고 $P(x)$ 이다."는 거짓이다.

(나) 명제 "$R(x)$는 $P(x)$이기 위한 필요조건이다."는 거짓이다.

(다) 명제 "모든 $x \in U$에 대하여 $P(x)$ 또는 $Q(x,k)$ 이다."는 참이다.