집합과 명제 고난도 추론 문제

문제

전체집합 $U$는 정수 전체의 집합이다. 정수 $a$와 $k$에 대하여 세 조건 $p(x), q(x), r(x)$는 다음과 같다.

$p(x): a \le x \le a+2$ $q(x): x^2 - 10x + 24 \le 0$ $r(x): k \le x \le k+2$

세 명제 $p(x), q(x), r(x)$의 진리집합을 각각 $P_a, Q, R_k$라 할 때, 다음 세 조건을 모두 만족시키는 정수 $k$의 개수를 구하시오.

(가) 명제 "$p(x) \ o q(x)$"는 참이다. (나) 명제 "어떤 정수 $x$에 대하여 $q(x)$이고 $r(x)$이다"는 참이다. (다) $n(P_a \cup R_k) = 6$