고난도 집합과 명제 추론 문제

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 100 \text{ 이하의 자연수}\}$에 대하여 세 명제 $p(x), q(x), r(x)$는 다음과 같다. \begin{itemize} \item $p(x)$: "$x$는 자연수 $k$의 배수이다." \item $q(x)$: "$x$는 $6$의 배수이다." \item $r(x)$: "$x$는 $10$의 배수이다." \end{itemize} 명제 $p(x), q(x), r(x)$의 진리집합을 각각 $P, Q, R$이라 하자. 집합 $X$가 다음 세 조건을 만족시킬 때, 집합 $X$의 원소의 개수 $|X|$의 최댓값을 $M$이라 하자. $M$을 갖도록 하는 모든 자연수 $k$ 값들의 합을 구하시오.

(가) 명제 $p(x) \rightarrow q(x)$는 참이다. (나) 명제 $r(x) \rightarrow \sim p(x)$는 거짓이다. (다) 집합 $X$는 다음 두 조건을 만족시킨다. (i) $X \cup R = Q$ (ii) $X \cap P = \emptyset$