집합과 명제 통합 추론 문제

문제

전체집합 $U = \{x \mid x는 20 이하의 자연수\}$에 대하여, 세 집합 $A_k$, $B_m$, $C_a$를 다음과 같이 정의한다.

$A_k = \{x \in U \mid x는 k의 배수\}$ $B_m = \{x \in U \mid x는 m개의 양의 약수를 갖는다\}$ $C_a = \{x \in U \mid x \ge a\}$

세 자연수 $k, m, a$가 다음 세 명제를 모두 참이 되게 할 때, $a$의 최댓값을 구하시오.

(가) 명제 $\text{P}_1$: "어떤 $x \in U$에 대하여 $x \in A_k \land x \in C_a$"는 참이다. (나) 명제 $\text{P}_2$: "모든 $x \in U$에 대하여 $x \in B_m \rightarrow x \ge 10$"은 참이다. (다) 명제 $\text{P}_3$: "집합 $X$에 대하여 $X \subseteq U$ 이고 $|X| \ge 2$ 일 때, $X \cap A_k \ne \emptyset$ 은 $X \cap B_m \ne \emptyset$ 이기 위한 충분조건이다."는 참이다.