집합과 명제의 고난도 추론 문제: 조건을 만족하는 자연수 k 찾기

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 40 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여 세 부분집합 $A, B, C_k$가 다음과 같이 정의된다.

$A = \{x \in U \mid x \text{는 } 4\text{의 배수}\}$ $B = \{x \in U \mid x \text{는 } 6\text{의 배수}\}$ $C_k = \{x \in U \mid x \text{를 } k \text{로 나눈 나머지가 } 1 \text{인 수}\}$ (단, $k$는 $1 < k \le 10$인 자연수)

다음 세 조건을 모두 만족시키는 자연수 $k$의 값을 구하시오.

(가) 명제 "$\exists x \in U, (x \in A \land x \in C_k)$"는 참이다. (나) 명제 "$\forall x \in U, (x \in B \implies x \notin C_k)$"는 참이다. (다) 명제 "$P_1 \implies P_2$"의 역은 거짓이다. (단, $P_1$은 "$A \cap C_k \subseteq B$", $P_2$는 "$k$는 소수이다")