집합과 명제의 조건 추론 문제

문제

전체집합 $U$는 정수 전체의 집합이다. 두 정수 $a$와 자연수 $k$에 대하여 세 집합 $A, B, C$가 다음과 같이 정의된다.

$A = \\{x \\mid (x-a)(x-(a+1)) \\le 0, x \\in U\\}$ $B = \\{x \\mid |x-2| < k, x \\in U\\}$ $C = \\{x \\mid x^2 - 7x + 10 \\le 0, x \\in U\\}$

다음 조건들을 모두 만족시키는 $a$와 $k$에 대하여 $k-a$의 값을 구하시오.

(가) 명제 "집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x \\in B$이다."는 참이다. (나) 명제 "$x \\in C$는 $x \\in A$이기 위한 충분조건이다."는 거짓이다. (다) 명제 "집합 $B$의 원소 중 소수인 $x$가 존재한다."는 참이다. (라) 집합 $A \\cup C$의 모든 원소의 합은 11이다.