세 집합의 관계와 명제 추론

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 12 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여 세 부분집합 $A, B, C$ 를 다음과 같이 정의한다.

$A = \{x \mid x \in U, |x-a| \le 2\}$ (단, $a$는 자연수) $B = \{x \mid x \in U, x \text{는 } m \text{의 배수}\}$ (단, $m$은 자연수) $C = \{x \mid x \in U, x \text{는 소수}\}$

두 자연수 $a, m$이 다음 세 조건을 모두 만족할 때, $a+m$의 최댓값을 구하시오.

(가) 명제 "어떤 $x \in U$ 에 대하여, $x \in A$ 이고 $x \notin B$"는 참이다. (나) 명제 "모든 $x \in U$ 에 대하여, $x \in B$ 이면 $x \notin C$"는 거짓이다. (다) 집합 $(A \cap B) \cup C$ 의 원소의 개수는 $6$이다.