집합의 원소 개수와 명제의 참 거짓 추론

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 20 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여, 두 부분집합 $A, B$를 자연수 $k$를 이용하여 다음과 같이 정의한다.

$A = \{x \mid x \in U, x \text{는 } k \text{의 배수}\}$ $B = \{x \mid x \in U, x \text{는 } k+1 \text{의 배수}\}$

또한, 집합 $C$를 $C = \{x \mid x \in U, x \text{는 소수}\}$ 로 정의할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $k$의 값은?

(가) $|A \cup B| = 5$ (나) 명제 $P$: "어떤 $x \in A$에 대하여, $x \in C$이다." (다) 명제 $Q$: "모든 $x \in B$에 대하여, $x \notin C$이다." (라) 명제 $P \implies \sim Q$는 참이다.