자연수 k의 조건에 따른 집합 관계

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 자연수이고 } 1 \le x \le 100\}$에 대하여 세 집합 $X, Y, Z_k$를 다음과 같이 정의하자. \begin{align*} X &= {x \in U \mid x \text{는 } 4 \text{의 배수}} \ Y &= {x \in U \mid x \text{는 } 6 \text{의 배수}} \ Z_k &= {x \in U \mid x \text{는 } k \text{의 배수}} \end{align*} 자연수 $k$에 대하여 다음 세 명제가 모두 참일 때, $k$의 값을 구하시오.

(가) 명제 "$x \in X \cap Y$ 이면 $x \in Z_k$"는 참이다. (나) 명제 "어떤 $x \in U$에 대하여 $x \in Z_k \cap X^c$ 이고 $x \in Y$"는 거짓이다. (다) 집합 $Z_k \setminus (X \cup Y)$의 원소의 개수는 $10$ 이상이다.