집합과 명제 고난도 추론 문제

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x \text{는 } 30 \text{ 이하의 자연수}\\}$ 에 대하여, 다음 조건을 만족하는 세 부분집합 $A, B, C$ 가 있다. 단, $k$는 $2$ 이상의 자연수이다.

(가) 집합 $A = \\{x \\mid x \\in U, x \text{는 } k \text{의 배수}\\}$ 이다.

(나) 집합 $B = \\{x \\mid x \\in U, x \text{를 } 3 \text{으로 나누었을 때 나머지가 } 1 \text{인 수}\\}$ 이다.

(다) 다음 두 명제는 모두 참이다. (1) 명제 '모든 $x \\in U$ 에 대하여, $x \\in A$ 이면 $x \ otin B$' 는 거짓이다. (2) 명제 '어떤 $x \\in U$ 에 대하여, $x \\in B$ 이고 $x \ otin A$' 는 참이다.

(라) 집합 $C$ 는 $U$ 의 부분집합이며, 다음 두 조건을 만족한다. (1) $A \\setminus C = \\emptyset$ (2) $B \\setminus C$ 의 모든 원소 $y$ 에 대하여, $y$ 는 $k$ 와 서로소이다.

(마) $|A \\cup B \\cup C| = 24$

위 조건을 모두 만족하는 $k$ 의 값은?