집합과 명제 고난도 문제: 조건 만족하는 합의 최댓값

문제

전체집합 $U$는 정수 전체의 집합이다. 두 자연수 $k$와 정수 $a$에 대하여 세 집합 $A, B, C$를 다음과 같이 정의한다.

$A = \{x \mid x \in U, a-k < x < a+k \}$ $B = \{x \mid x \in U, x \text{는 } 3\text{의 배수이다} \}$ $C = \{x \mid x \in U, 10 \le x \le 20 \}$

다음 조건을 모두 만족시키는 $a+k$의 최댓값을 구하시오.

(가) $A \subseteq C$ (나) 명제 "어떤 $x \in A$에 대하여 $x$는 $3$의 배수가 아니다"는 참이다. (다) 명제 "집합 $A$에 속하는 $3$의 배수가 적어도 하나 존재한다"는 참이다. (라) 집합 $A$의 원소의 개수는 $5$ 이상이다.