집합과 명제 고난도 추론 문제

문제

전체집합 $\mathrm{U}$는 정수 전체의 집합 $\mathbb{Z}$이다. 두 정수 $k, m$에 대하여 세 조건 $P(x), Q(x), R(x)$는 다음과 같다.

$P(x): |x-k| \le 2$ $Q(x): x^2 - 4x - 12 \le 0$ $R(x): |x-m| \le 1$

세 조건 $P(x), Q(x), R(x)$의 진리집합을 각각 $A, B, C$라고 하자. 즉, $A = \{x \mid P(x)\}$, $B = \{x \mid Q(x)\}$, $C = \{x \mid R(x)\}$이다.

다음 세 명제가 모두 참이 되도록 하는 모든 정수 $k, m$의 순서쌍 $(k, m)$의 개수를 구하시오.

(가) 명제 "$x \in A \Rightarrow x \in B$"는 참이다. (나) 명제 "어떤 정수 $x$에 대하여 $x \in C$ 이고 $x$는 소수이다"는 거짓이다. (다) 명제 "어떤 정수 $x$에 대하여 $x \in (A \cap C)$ 이고 $x^2$은 $9$의 배수이다"는 참이다.