집합의 조건과 명제를 이용한 원소 개수 추론

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x \text{는 } 10 \text{ 이하의 자연수}\\}$ 에 대하여 두 부분집합 $A, B$ 가 다음과 같이 정의된다. $A = \\{x \\mid x \\in U, x \text{는 } 2 \text{의 배수}\\}$ $B = \\{x \\mid x \\in U, x \text{는 } 3 \text{의 배수}\\}$

집합 $X$ 가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 집합 $X$ 의 원소의 개수 $|X|$ 의 최댓값을 구하시오.

(가) $X \\subseteq U$ (나) $(X \\cap A) \\setminus B = \\{2, 4\\}$ (다) $(X \\cap B) \\setminus A = \\{3\\}$ (라) 명제 "모든 $k \\in (X \\cap A \\cap B)$ 에 대하여 $k$는 소수이다" 는 거짓이다. (마) 명제 "어떤 $k \\in (X \\setminus (A \\cup B))$ 에 대하여 $k$는 $5$보다 크거나 같다" 의 부정은 참이다.