세 집합과 명제의 진리 조건 문제

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x \text{는 자연수이고 } 1 \\le x \\le 100\\}$ 에 대하여 세 집합 $P, Q, R_k$를 다음과 같이 정의한다.

$P = \\{x \\in U \\mid x \text{는 } 3\text{의 배수}\\}.$ $Q = \\{x \\in U \\mid x \text{는 } 5\text{의 배수}\\}.$ $R_k = \\{x \\in U \\mid x+1 \text{은 } k\text{의 배수}\\}.$

(단, $k$는 $k \\ge 2$인 자연수이다.)

다음 세 가지 조건을 모두 만족시키는 모든 자연수 $k$의 값의 합을 구하시오.

(가) 명제 "어떤 $x \\in U$ 에 대하여 $x \\in P \\setminus Q$ 이고 $x \\in R_k$ 이다" 는 참이다. (나) 명제 "모든 $x \\in U$ 에 대하여 $x \\in (P \\cap Q) \\implies x \ otin R_k$ 이다" 는 참이다. (다) 명제 "모든 $x \\in U$ 에 대하여 $x \\in R_k \\implies x \ otin P$ 이다" 는 거짓이다.