집합과 명제 통합 추론 문제: 배수, 약수, 나머지 조건 활용

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 30 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여, 집합 $A = \{x \mid x \in U, x \text{는 } 4 \text{의 배수 또는 } x \text{는 } 5 \text{의 배수}\}$ 이다.

다음 두 조건을 만족시키는 자연수 $k, m$에 대하여 물음에 답하시오.

(가) 두 조건 $P(x): x \in A$ 와 $Q_k(x): x \text{는 } k \text{의 배수}$ 에 대하여, 명제 "$Q_k(x) \to P(x)$" 가 참이 되도록 하는 자연수 $k$ 중, $Q_k$의 모든 원소가 $10$ 미만인 $k$ 값의 개수를 $N_1$이라 하자.

(나) 두 조건 $P(x): x \in A$ 와 $R_m(x): x \text{는 } m \text{으로 나누었을 때 나머지가 } 2 \text{인 수}$ 에 대하여, 명제 "$R_m(x) \to \sim P(x)$" 가 참이 되도록 하는 자연수 $m$의 최댓값을 $M$이라 하자. (단, $m \ge 3$)

$N_1$과 $M$의 값에 대하여, 집합 $X = \{x \mid x \in U, x \text{는 } N_1 \text{의 배수} \text{ 또는 } x \text{는 } M \text{의 약수}\}$일 때, 집합 $X$의 모든 원소의 합은?