집합과 명제 고난도 문제: 조건 추론과 원소 개수

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 100 \text{ 이하의 자연수}\}$에 대하여 다음 세 부분집합 $A, B, C$가 주어져 있다.

집합 $A = \{x \mid a \le x \le b, x \text{는 정수}\}$ (단, $a, b$는 자연수이고 $a < b$이다.) 집합 $B = \{x \mid x \text{는 } 3\text{의 배수 또는 } 5\text{의 배수}\}$ 집합 $C = \{x \mid x \text{를 } 10\text{으로 나누었을 때 나머지가 } 1\text{인 수}\}$

다음 세 조건을 모두 만족시키는 $a+b$의 값을 구하시오.

(가) 명제 "$x \in C \implies x \in A$"는 참이다. (나) 명제 "$x \in A \implies x \in B$"는 거짓이다. (다) $|A \cap B^c| = 7$ (여기서 $B^c$는 $U$에 대한 $B$의 여집합이다.)