조건을 만족하는 집합의 개수 구하기

문제

전체집합 $\mathrm{U} = \{x \mid x \text{는 } 12 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여, 두 부분집합 $\mathrm{A} = \{x \mid x \in \mathrm{U}, x \text{는 짝수}\}$ 와 $\mathrm{B} = \{x \mid x \in \mathrm{U}, x \text{는 } 3 \text{의 배수}\}$ 가 있다. 공집합이 아닌 부분집합 $\mathrm{X} \subset \mathrm{U}$ 와 자연수 $k$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 가능한 집합 $\mathrm{X}$ 의 개수를 구하시오.

(가) 명제 "$p$: $\mathrm{X} \subset \mathrm{A}$ 이다." 의 역은 참이다. (나) 명제 "$q$: 어떤 $x \in \mathrm{B}$ 에 대하여 $x \notin \mathrm{X}$ 이다." 의 부정은 참이다. (다) 집합 $\mathrm{X} \cap \mathrm{B}^c$ 의 원소의 개수는 $k$ 이다. (라) 집합 $\mathrm{X}$ 의 모든 원소의 합은 $k$ 의 배수이다.