세 집합의 관계를 만족하는 자연수 k의 값

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 20 \text{ 이하의 자연수}\}$에 대하여 세 집합 $A, B, C$가 다음과 같이 정의된다.

• $A = \{x \mid x \in U, x \text{는 } 3 \text{의 배수}\}$
• $B = \{x \mid x \in U, x \text{는 소수}\}$
• $C = \{x \mid x \in U, x \le k \}$, 단, $k$는 자연수이다.

다음 세 조건을 모두 만족시키는 자연수 $k$의 값을 구하시오.

(가) 명제 "$x \in A o x otin C$"는 거짓이다.

(나) 명제 "$x \in B o x \in C$"는 거짓이다.

(다) $(A \cup B) \cap C$ 의 원소의 개수는 8이다.