집합과 명제 통합 추론 문제

문제

전체집합 $U = \\{x \\mid x \text{는 } 10 \text{ 이하의 자연수}\\}$ 에 대하여 세 명제 $p(x), q(x), r(x)$ 가 다음과 같다.

$p(x): x^2 - (a+5)x + 5a = 0$ $q(x): x^2 - 10x + 24 \\le 0$ $r(x): |x-k| \\le 1$

세 명제 $p(x), q(x), r(x)$ 의 진리집합을 각각 $P, Q, R$ 이라 할 때, 두 자연수 $a, k$ 에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시키는 모든 $(a, k)$ 쌍에 대해 $a+k$ 의 값을 구하고, 이들의 총합을 고르시오. (단, $a \ e 5$ 이다.)

(가) 명제 '$p(x) \ o q(x)$' 는 참이다. (나) $Q \\cap R \ e \\emptyset$ (다) $n(P \\cup R) = 5$