집합과 명제: 킬러 문항 - 배수 집합과 명제 조건 통합 추론

문제

전체집합 $\mathcal{U} = \{x \mid x는 20 이하의 자연수\}$에 대하여 세 집합 $A, B, C$가 다음과 같이 정의된다.

$A = \{x \mid x \in \mathcal{U}, x는 자연수 k의 배수\}$ (단, $k$는 $1$이 아닌 자연수) $B = \{x \mid x \in \mathcal{U}, x는 12의 약수\}$ $C = \{x \mid x \in \mathcal{U}, x는 자연수 a의 배수\}$ (단, $a$는 $1$이 아닌 자연수)

세 집합 $A, B, C$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $a$의 최솟값은?

(가) 명제 "어떤 $x \in \mathcal{U}$에 대하여 $x \in A$ 이고 $x \in B$"는 거짓이다. (나) 명제 "$x \in C$ 이면 $x \notin A$"는 참이다. (다) $|(A \cup B)^c| = 13$