집합의 조건과 명제의 참/거짓 판단을 통한 자연수의 합 문제

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 1 \text{부터 } 100 \text{까지의 자연수}\}$에 대하여 다음 세 집합 $A, B, C$가 주어진다.

$A = \{x \mid x \in U, x \text{는 } a \text{의 배수}\}$ $B = \{x \mid x \in U, x \text{는 } b \text{의 배수}\}$ $C = \{x \mid x \in U, x \text{를 } 5 \text{로 나눈 나머지가 } 1 \text{ 또는 } 4 \text{인 수}\}$

두 자연수 $a, b$가 다음 조건을 모두 만족할 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a, b$는 서로 다른 자연수이다.)

(가) $a < b$ (나) $|A \cup B| = 25$ (다) 명제 "어떤 $x \in A$ 에 대하여 $x \in C$ 이다"는 거짓이다. (라) 명제 "모든 $x \in B$ 에 대하여 $x \notin C$ 이다"는 거짓이다.