집합과 명제의 조건 문제

문제

전체집합 $U = \left\{ x \mid x \text{는 } 100 \text{ 이하의 자연수} \right\}$ 에 대하여 세 집합 $A, B, C$ 를 다음과 같이 정의한다.

$A = \left\{ x \in U \mid x \text{는 } 4 \text{의 배수} \right\}$ $B = \left\{ x \in U \mid x \text{는 } k \text{의 배수} \right\}$ $C = \left\{ x \in U \mid x \text{는 } 6 \text{의 배수} \right\}$

단, $k$는 $12$ 이하의 자연수이다.

다음 두 명제가 모두 참이 되도록 하는 모든 자연수 $k$ 값의 합을 구하시오.

(가) 어떤 $x \in U$ 에 대하여 $x \in A$ 이고 $x \notin B$ 이다. (나) 모든 $x \in U$ 에 대하여 $x \in B$ 이면 $x \in (A \cup C)$ 이다.