킬러 문항: 집합과 명제 심화

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 1 \text{부터 } 20 \text{까지의 자연수}\}$에 대하여 다음 세 집합 $A, P, Q$를 정의한다.

$A = \{x \in U \mid x \text{는 } k \text{의 배수} \}$ (단, $k$는 $1 \le k \le 20$인 자연수) $P = \{x \in U \mid x \text{는 } 4 \text{의 배수} \text{ 또는 } x \text{는 } 5 \text{의 배수}\}$ $Q = \{x \in U \mid x \text{는 } 2 \text{의 배수} \text{ 그리고 } x \text{는 } 3 \text{의 배수}\}$

이때, 다음 세 조건을 모두 만족시키는 모든 자연수 $k$ 값의 합을 구하시오.

(가) 명제 "모든 $x \in A$에 대하여, $x \in P$이다."는 참이다. (나) 명제 "어떤 $x \in U$에 대하여, $x \in A \cap Q$이다."는 거짓이다. (다) $n(A) = 3$