복합 명제와 집합의 관계

문제

전체집합 $U$는 실수 전체의 집합이다. 두 정수 $a, b$에 대하여 두 집합 $A, B$는 다음과 같이 정의된다. $A = \{x \mid x^2 - (2a+1)x + a(a+1) \le 0\}$ $B = \{x \mid x^2 - (2b+1)x + b(b+1) \le 0\}$ 또한, 집합 $C$는 다음과 같이 정의된다. $C = \{x \mid x^2 - 10x + 21 < 0\}$ 두 정수 $a, b$가 $1 \le a \le 10$ 및 $1 \le b \le 10$을 만족할 때, 다음 세 명제가 모두 참이 되도록 하는 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하시오.

(i) 명제 "모든 실수 $x$에 대하여, $x \in A \implies x \notin C$"는 거짓이다. (ii) 명제 "어떤 실수 $x$에 대하여, $x \in B \text{ 이고 } x \notin C$"는 참이다. (iii) 명제 "집합 $(A \cap B) \setminus C$는 공집합이 아니다."