집합과 명제의 고난도 활용 문제

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 1 \text{부터 } 30 \text{까지의 자연수}\}$에 대하여 세 조건 $p(x), q(x), r(x)$가 다음과 같다.

• $p(x): x \text{는 } k \text{의 배수이다.}$ ($p(x)$의 진리집합을 $A$라 한다.)
• $q(x): |x-a| \le 2 \text{이다.}$ ($q(x)$의 진리집합을 $B$라 한다.)
• $r(x): x \text{는 소수이다.}$ ($r(x)$의 진리집합을 $C$라 한다.)

자연수 $k$와 정수 $a$에 대하여 다음 세 조건이 모두 참이 되도록 하는 모든 순서쌍 $(k, a)$의 개수를 구하시오.

(가) 명제 '\text{어떤 } x \in U \text{에 대하여 } p(x) \land r(x) \text{이다}'는 참이다. (나) 명제 '\text{모든 } x \in U \text{에 대하여 } (p(x) \land \sim q(x)) \to r(x) \text{이다}'는 참이다. (다) 명제 '\text{모든 } x \in U \text{에 대하여 } q(x) \to \sim r(x) \text{이다}'는 거짓이다.

(단, $k$는 $1 \le k \le 30$인 자연수이고, $B$는 공집합이 아니도록 하는 $a$ 값의 범위 내에서 고려한다.)