집합과 명제 고난도 문제: 진리집합의 관계

문제

전체집합 $U$는 실수 전체의 집합이라 하자. 세 명제 $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$가 다음과 같이 정의된다.

$P(x): x^2 - 6x + 5 \le 0$ $Q(x): |x-a| \le 2$ (단, $a$는 정수) $R(x): x^2 - (2k+1)x + k(k+1) \le 0$ (단, $k$는 정수)

다음 세 조건을 모두 만족시키는 정수 $a$와 $k$에 대하여, $a$의 최솟값을 $a_0$, $k$의 값 중 $|k|$가 최소가 되는 값을 $k_m$이라 할 때, $a_0 + |k_m|$의 값을 구하시오.

(가) 명제 "모든 실수 $x$ 에 대하여 $P(x)$ 이면 $Q(x)$ 이다" 는 참이다. (나) 명제 "어떤 실수 $x$ 에 대하여 $Q(x)$ 이고 $R(x)$ 이다" 는 거짓이다. (다) 명제 "모든 실수 $x$ 에 대하여 $R(x)$ 이면 $P(x)$ 이다" 는 거짓이다.