집합과 명제 활용 문제

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 8 \text{ 이하의 자연수}\}$에 대하여 두 부분집합 $A, B$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $A \neq \emptyset$, $A \neq U$ 이고 $B \neq \emptyset$, $B \neq U$ 이다. (나) 명제 '모든 $x \in A$에 대하여 $x$는 짝수이다.' 와 명제 '어떤 $y \in B$에 대하여 $y$는 홀수이다.' 중 적어도 하나는 참이다. (다) $A \cup B = U$ 이고 $A \cap B \neq \emptyset$ 이다.

위 조건을 모두 만족시키는 두 집합 $A, B$에 대하여 집합 $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$의 원소의 개수의 최댓값을 구하시오.