집합과 명제의 고난도 응용

문제

전체집합 $U$의 세 부분집합 $A, B, C$가 다음 조건들을 만족한다. (단, $A, B, C$는 서로 다른 공집합이 아닌 집합이다.)

(가) 명제 "$x \in A \implies x \in B$" 가 거짓이 되도록 하는 원소 $x$가 존재한다. (나) 명제 "$x \in B \implies x \in C^c$" 가 항상 참이다. (다) 명제 "$x \in A^c \implies x \in C$" 가 거짓이 되도록 하는 원소의 개수는 8이다. (라) 집합 $B \setminus A$ 의 원소의 개수는 5이다.

이때, $|A \cap B| = 6$, $|A \cap C| = 10$, $|B \cup C| = 25$ 이고, $|U| = 50$ 이다. 집합 $A \cup B$ 의 원소의 개수는?