배수 집합의 명제 조건 활용

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 200 \text{ 이하의 자연수}\}$ 에 대하여, 자연수 $k$의 배수의 집합을 $A_k = \{x \in U \mid x \text{는 } k \text{의 배수}\}$ 라 하자. 서로 다른 두 자연수 $a, b$ (단, $a, b \le 200$) 에 대하여 다음 두 조건이 모두 참이 되도록 하는 $a+b$의 최댓값을 구하시오.

(가) 명제 "모든 $x \in U$ 에 대하여, $(x \in A_a \cup A_b) \implies (x \in A_c)$ 이다" 가 참이 되도록 하는 자연수 $c$의 값은 유일하다. (나) 명제 "모든 $x \in U$ 에 대하여, $(x \in A_c) \implies (x \in A_a \cap A_b)$ 이다" 가 참이 되도록 하는 자연수 $c$의 값은 유일하다.