집합의 조건과 매개변수

문제

실수 $x$에 대한 세 조건 $P, Q, R$이 다음과 같이 주어져 있다. $P: (x-k)(x-(k^2+2)) \le 0$ $Q: |x-3| \ge 2$ $R: x^2 - 10x + 24 \le 0$

세 조건 $P, Q, R$을 만족시키는 $x$들의 집합을 각각 $A_k, S_Q, S_R$이라 하자. 즉, $A_k = \\{x \in \mathbb{R} \mid (x-k)(x-(k^2+2)) \le 0 \\}$ $S_Q = \\{x \in \mathbb{R} \mid |x-3| \ge 2 \\}$ $S_R = \\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 10x + 24 \le 0 \\}$

정수 $k$가 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, 가능한 모든 $k$ 값들의 합을 구하시오.

(가) $k$는 소수이다. (나) $A_k \subseteq S_Q$ 이다. (다) $A_k \cap S_R \ eq \emptyset$ 이다.