집합의 원소와 명제의 참/거짓 판단

문제

전체집합 $U = \{x \mid x \text{는 } 30 \text{ 이하의 자연수}\}$에 대하여 두 집합 $A$와 $P_k$를 다음과 같이 정의한다.

$A = \{x \mid x \in U, x \text{는 } 3\text{의 배수 또는 } 5\text{의 배수}\}$ $P_k = \{x \mid x \in U, x \text{는 } k\text{와 서로소인 자연수}\}$

집합 $X$는 $U$의 공집합이 아닌 부분집합이다. 다음 두 명제가 모두 참일 때, 집합 $X$의 원소의 개수의 최댓값을 구하시오.

(가) 명제 "어떤 $x \in X$ 에 대하여, $x \in A$ 이다." 는 거짓이다. (나) 명제 "모든 $x \in X$ 에 대하여, $x \in P_6$ 이다." 는 참이다.