집합과 명제의 관계를 이용한 정수 $k$의 개수 문제

문제

전체집합 $U$는 실수 전체의 집합이다. $x$에 대한 세 조건 $p(x)$, $q(x)$, $r(x)$가 다음과 같다. $p(x): x^2 - 6x + 5 \le 0$ $q(x): (x-k)(x-(k+2)) \le 0$ $r(x): x^2 - 2x - 3 \le 0$

두 명제 (가), (나)가 모두 참이 되도록 하는 모든 정수 $k$의 개수를 구하시오.

(가) 명제 "$r(x)$는 $q(x)$이기 위한 필요조건이다."는 참이다. (나) 명제 "어떤 실수 $x$에 대하여 $p(x)$이고 $q(x)$이다."는 거짓이다.