숨겨진 다항식의 비밀: 추론으로 밝혀내는 미지수의 정답은?

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매우 어려움다항식

숨겨진 다항식의 비밀: 추론으로 밝혀내는 미지수

다항식의 연산, 나머지 정리, 인수분해, 그리고 정수 조건 추론을 결합하여 복합적인 사고를 요구하는 고난도 문제입니다.

2026학년도 수능고등학교 1학년

문제

다항식 $P(x)$ 는 다음 조건을 만족하는 삼차 다항식이다.

(가) $P(x)$ 의 모든 계수는 정수이다. (나) $P(x)$ 는 다항식 $x^2-x+1$ 을 인수로 갖는다. (다) $P(x)$ 를 $x-2$ 로 나눈 나머지를 $R_1$ , $x+1$ 로 나눈 나머지를 $R_2$ 라 할 때, $R_1+R_2 = 30$ 이다. (라) $P(x)$ 는 적어도 하나의 양의 정수근을 갖는다. 이러한 조건을 만족하는 모든 다항식 $P(x)$ 중에서 양의 정수근이 가장 작은 값을 갖는 다항식을 $Q(x)$ 라 하자.