다항식의 조건 추론 및 인수분해

문제

다항식 $P(x)$는 최고차항의 계수가 1인 삼차 다항식이고, 다항식 $Q(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차 다항식이다. 두 다항식 $P(x)$와 $Q(x)$가 다음 조건을 만족할 때, 다항식 $F(x) = (x-2)P(x) - (x+1)Q(x)$ 의 $x^2$ 의 계수를 구하시오.

(가) $P(x)$는 $(x-1)$로 나누어떨어진다. (나) $P(x)$를 $(x^2+1)$로 나누었을 때의 나머지는 $ax+b$ 이고, $P(0)=-1$, $P(-1)=0$ 이다. (다) $Q(x)$는 $(x-1)$로 나누어떨어진다. (라) $Q(x)$를 $(x+2)$로 나누었을 때의 나머지는 $12$ 이다.