다항식의 항등식과 나머지 정리 활용

문제

사차 다항식 $F(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 3$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $P(x)$ 는 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차 다항식이고, $(x-1)P(x) = F(x)$ 이다. (나) 다항식 $P(x)$ 는 $x+1$ 로 나누어 떨어진다. (다) 다항식 $P(x)$ 를 $x-2$ 로 나누었을 때의 나머지는 $4$ 이다.

$P(x)$ 의 세 근을 $\alpha, \beta, \gamma$ 라 하자. 이때, $\alpha = -1$ 이고 나머지 두 근 $\beta, \gamma$ 가 이차방정식 $x^2 + px + q = 0$ 의 근일 때, $12(p+q)$ 의 값을 구하시오.

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